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sabato 11 aprile 2015

I numeri di Fibonacci e la proporzione Divina

I numeri di Fibonacci sono una sequenza matematica, i cui elementi e i cui rapporti si riscontrano in una straordinaria varietà di fenomeni naturali e artistici.
A questa sequenza fu dato il nome del suo scopritore duecentesco, Leonardo Pisano, detto Fibonacci. In una sezione del suo famoso trattato, Liber Abaci, questi poneva un problema matematico: Se una coppia di conigli rimane isolata , " quanti conigli nasceranno nel corso di un anno , ammesso che ogni mese una coppia di conigli ne produca un'altra coppia , e che i conigli incomincino a partorire due mesi dopo la propria nascita?".
Per arrivare alla soluzione, possiamo preparare tre liste . Su una segneremo il numero totale delle coppie di conigli alla fine di ogni mese, su un'altra il numero delle coppie feconde, e sulla terza il numero delle coppie immature. Le tre liste risultano identiche ( ove si eccettui il fatto che la lista delle coppie immature incomincia con 0, e alla lista di tutte le coppie manca il primo numero della sequenza, cioè 1). La lista di tutte le coppie per ogni singolo mese si presenta così: 1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377. L'ultima cifra della lista da la soluzione del problema:  Nel corso di 12 mesi nasceranno 367 coppie ( dobbiamo sottrarre da 377 la prima coppia, che era già nata). L'intera sequenza di Fibonacci deriva dalla lista delle coppie mature : 1,1,2,3,5,8,13,21 ecc....Questa successione numerica ha la proprietà matematica che ogni elemento ( a partire dal secondo) è uguale alla somma dei due precedenti . Usando questa formula, è possibile estendere la sequenza all'infinito.  La sequenza ha un'altra proprietà matematica interessante, che si può notare calcolando il rapporto di ogni elemento con quello precedente. Partendo dai primi 2 elementi , il rapporto è 1:1, o semplicemente 1. Il secondo rapporto è 2:1, o 2 . Il terzo rapporto è 3:2, o 1,5; Il quarto è 5:3 o circa 1,67; il quinto è 8:5, o 1,6. Gli altri sono 1,625, circa 1,615, circa 1,619, circa 1,618.
Nel settecento si scoprì che questi convergono su un numero irrazionale , detto PHI, i cui primi termini sono 1,618034. ( Più precisamente , phi , è 1/2 della radice quadrata di 5 più 1/2.) Questo significa che ogni numero è circa 1,618034 volte più grande del numero che lo precede.
Questo stesso numero , phi, aveva già svolto una parte importante nella civiltà occidentale. Era noto come il numero "aureo" ed esprimeva un rapporto che gli antichi greci chiamavano proporzione divina. Servendosi di riga e compasso , i geometri greci erano in grado di dividere qualsiasi linea in due segmenti , in modo che il rapporto fra il segmento più lungo e quello più corto fosse identico al rapporto fra l'intera linea e il segmento più lungo.
 La divisione della linea era detta "sezione aurea" , il rapporto proporzionale era la proporzione divina , e il numero con cui era possibile esprimere tale rapporto era il "numero aureo" o "aurea mediocrità".
In altre parole, l'intera linea è circa 1,618034 volte più lunga del segmento più lungo , e il segmento più lungo è circa 1,618034 volte più lungo del segmento più corto. La civiltà greca classica, e in particolare le tradizioni di Pitagora e di Platone, tentò di unificare tutte le arti e tutte le scienze secondo rapporti armonici che a loro avviso  erano inerenti all'universo.

Ricordiamo che il Partenone è un rettangolo in cui il rapporto tra il lato maggiore e quello minore corrisponde al numero aureo. Gli artisti e gli architetti greci facevano libero uso dei rettangoli aurei . Egli ritenevano che quella forma fosse "gradita all'anima". Se da uno spigolo di un rettangolo aureo si ritaglia un quadrato , anche il rettangolo che rimane è un rettangolo aureo! Questi rettangoli aurei erano usati per disegnare la pianta del pavimento e la facciata dei templi. Come abbiamo già detto il Partenone dell'acropoli Greca si conforma con questa regola.
Anche i vasi greci e le statue che raffiguravano esseri umani erano costruiti secondo la proporzione divina. L'ombelico di una statua , per esempio, divideva l'altezza del corpo in due segmenti aurei. Poi il segmento superiore veniva diviso all'altezza del collo in altri due segmenti dello stesso genere. Gli occhi , infine, dividevano in maniera analoga la testa.
A partire dal rinascimento  anche la tradizione europea delle belle arti ha fatto frequente e deliberato uso della proporzione divina nella forma delle tele( la gioconda è una di queste!), nelle dimensioni delle figure e in altri particolari. Anche i compositori si sono serviti di tale proporzione nelle loro partiture musicali. In questo caso, il tempo sostituisce lo spazio come dimensione da dividere. Per quel che è dato sapere, l'uso musicale della proporzione divina non fu intenzionale fino al novecento. Ciò convalida l'idea che la proporzione è naturalmente "piacevole". Anche la proporzione fra le falangi della mano è in rapporto aureo.
Nell'ottocento si scoprì che una elevata percentuale di comuni oggetti rettangolari , quali le carte da gioco, le finestre, le copertine dei libri , le cartelle si avvicinavano ai rettangoli aurei. Da allora i disegnatori commerciali si sono serviti volutamente delle dimensioni auree per disegnare involucri, vetrine e manifesti pubblicitari.
Una figura geometrica affine , la spirale aurea, è un altro mezzo col quale è possibile vedere la proporzione divina in molti oggetti. Per ottenere questa spirale , si disegni una serie di rettangoli aurei decrescenti uno dentro l'altro. Questo disegno mostrerà anche una serie di quadrati decrescenti. Si disegni ora attraverso questi quadrati una serie di archi circolari che abbiano come raggio i lati dei quadrati. La curva che ne consegue si avvicina alla spirale aurea , detta anche spirale logaritmica. ( La precisa equazione della spirale aurea comprende il numero aureo come fattore).

La spirale aurea si può trovare nell'arte di molte culture e molto spesso anche in natura. Parecchie varietà di comuni organismi marini , dal plancton alle lumache Nautilus (nautilio), presentano spirali auree nelle loro fasi di sviluppo o nelle loro conchiglie. La parte inferiore delle onde del mare forma delle spirali auree, inducendo i costruttori navali a dare le stesse forme alle ancore. Anche la maggior parte delle corna , delle zanne, dei becchi e degli artigli si avvicinano alla spirale aurea , cosi come fanno le braccia a spirale della nostra galassia , la  Via Lattea e di molte altre galassie! La spirale aurea compare nella coda delle comete e nella rete dei ragni.

Le spirali auree si possono trovare anche nella distribuzione dei semi nel capolino di molte specie di fiori ( tipo il girasole), nell'ordinamento delle scaglie dell'ananas e delle brattee sulle pigne ( uno studio rivelò che il 98%  delle pigne contiene il numero di Fibonacci). Si è scoperto che questo e altri esempi botanici hanno anche un'altra attinenza con la proporzione divina . Sulla testa di un girasole , il numero delle spirali dei semi rientra molto spesso in questo schema: 89 spirali che si irradiano ripide in senso orario ; 55 che si muovono in senso antiorario e 34 che si muovono in senso orario ma in modo meno ripido. Questi sono tre numeri adiacenti della sequenza di Fibonacci . Il più grande girasole che si sia mai   conosciuto aveva 144,89,e 55 spirali....(vi ricorda qualcosa??).
Anche in molti fiori , il numero di petali , è di solito un numero di Fibonacci, come si trova lo stesso numero anche nell'ordinamento tra le foglie dei gambi e degli alberi. Pensate partendo da una foglia di un albero qualunque, dopo uno, due, tre o cinque giri della spirale di Fibonacci   , si trova sempre una foglia allineata con la prima. A seconda della specie , questa sarà la seconda, la terza, la quinta, l'ottavao la tredicesima foglia!!
Tutte queste scoperte di botanica, astronomia, zoologia, non avrebbero sconvolto i greci , che erano convinti dell'armonia del creato, ma oggi lasciano stupefatti uomini del XXI secolo....

source: The World Almanac - Book of Strange